П.3 Свойства равномерно сходящихся несобственных интегралов

Признак Абеля

П. 2. Признаки равномерной сходимости

П.1 Равномерная сходимость

Несобственные интегралы с параметрами

Следствие.

Собственные интегралы с параметрами

П.2 Равномерная сходимость ряда Фурье

1.

П.1 Неравенство Бесселя

Равномерная сходимость ряда Фурье. Сходимость в среднем

Теорема. Пусть , - ортогональна на [a, b]. Пусть - коэффициенты Фурье. Тогда

□ =

последнее слагаемое состоит из квадратов и удвоенных попарных произведений, которые равны нулю за счет ортогональности системы

= =

Вспомним формулу:

,

следовательно, частные суммы ограничены:

- сходится. ■

Следствия:

2. и - сходятся

3. и - сходятся

□ , следовательно - ряд сходится. ■

Теорема (о равномерной сходимости ряда Фурье)

Пусть - 2 -периодическая, непрерывная и кусочно-гладкая на .

Тогда ее тригонометрический ряд Фурье сходится к равномерно на .

Рассмотрим

Аналогично

и сходятся (по следствию из неравенства Бесселя) и сходятся.

Рассмотрим

ряд Фурье сходится равномерно к . ■

Глава №2. Интегралы, зависящие от параметра

О сходимости и равномерной сходимости семейства функций мы говорили на практике.

Пусть . Пусть определена на , и для интегрируема по Риману на , то есть .

Пусть - собственный интеграл с параметром .

Пусть и - непрерывна на . Тогда

1) непрерывна на ;

2) если равномерно по при , то ;

3) .

Теорема 1.Пустьи непрерывны в . Тогда функция - непрерывно дифференцируема на и .

Следовательно,

Пусть . Тогда

Все рассматриваемые здесь несобственные интегралы имеют одну особую точку .

Пусть , . Пусть и , т.е. точка - особая точка несобственного интеграла. Запишем определение сходящегося интеграла:

- сходится при

Определение равномерно сходящегося интеграла:

сходится равномерно (по ) на

Теорема 1. (Критерий Коши)

сходится равномерно на

Необходимость.

Пусть сходится равномерно на и Тогда

Достаточность.

Пусть

сходится при если тогда ∎

Теорема 2. (Признак Вейерштрасса)

Пусть . Пусть определена на такая, что и сходится. Тогда сходится равномерно на .

Так как - сходится

- сходится равномерно ∎

Теорема 3. (Признак Дирихле)

Пусть:

1) непрерывны по на ;

2) - первообразная по и для (первообразные равномерно ограничены);

3) ;

4) равномерно на при .

Тогда сходится равномерно на .

Так как равномерно

Так как

то

∎

сходится равномерно на , если:

1) непрерывны на ;

2) сходится равномерно на ;

3) монотонна по для ;

4) для , .

Теорема 4 (о предельном переходе).Пусть определена на , сходится равномерно на к при и сходится равномерно на .

Тогда .

□ сходится равномерно :

сходится.

Рассмотрим

Второе и третье слагаемое .

равномерно сходится к при . Тогда ∎

Теорема 5 (о непрерывности).Пусть непрерывна на и сходится равномерно на . Тогда непрерывна на .

□ :

Пусть . Рассмотрим

Второе и третье слагаемые .

- непрерывная функция (как собственный интеграл). Значит : ∎

Теорема 6 (об изменении порядка интегрирования).Пусть непрерывна на и сходится равномерно на . Тогда .

□ : . Тогда .

Пусть . Тогда , а

Пример. Интеграл Дирихле . (Доказательство)

Теорема 7 (о дифференцировании по параметру). Пусть - непрерывна на , - сходится равномерно на , сходится. Тогда - сходится на , непрерывно дифференцируема и .

□ Пусть . Рассмотрим

Пример (интегралы Лапласа):

, , .

Пусть .

- сходится равномерно на .

, , монотонно,

сходится равномерно на .

Имеем .

Так как , то и при . Найдем :

- непрерывна на R,

Окончательно, .

Теорема 8 (изменение порядка интегрирования в случае, когда оба интеграла несобственные).Пусть - непрерывна на (точки b и d особые) и выполнены условия

сходится равномерно на ;

сходится равномерно на ;

3) Один из интегралов или сходится.

Тогда оба повторных интеграла от сходятся и

□Обозначим

1. и . Пусть . Тогда

, : .

Аналогично для

Для случая доказательство аналогично.

2.Пусть теперь меняет знак. Рассмотрим неотрицательные функции

Для и теорема верна. Следовательно ■

Пример 1.Интеграл Пуассона

Пример 2. Интегралы Френеля

Выполняя замену: получаем:

- Интегралы сходятся равномерно по

Интеграл Пуассона: выполняя замену: получаем:

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

39 + = 47